2013年高考数学试卷（理）（上海）（解析卷）

2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题1.计算：limn+20m3n+13【解答】根据极限运算法则，1imn+201mw3n+1332.设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=【解答】m+m-2=0m2-1≠0→m=-2.3.若-11少-川则x+y=【解答】x2+y2=-2xy→x+y=0.4.已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若3a2+2ab+3b2-3c2=0,则角C的大小是(结果用反三角函数值表示)【解答】302+2ab+362-3c2=0→c2=a2+b2+名b,故3cosC=--,C=π-arccos335.设常数a∈R,若xr2+的二项展开式中x项的系数为-10，则a=【解答】T1=C5(x2)5-(巴y,2(5-r）-r=7→r=1,故Cga=-10→a=-2.3.16.方3”-+33的实数解为【解答】原方程整理后变为32-2.3-8=0→3=4→x=l0g34.7.在极坐标系中，曲线p=c0sO+1与pc0s0=1的公共点到极点的距离为【g第)联立方组得-)=1口p=生5，又P≥0，故所求为+228.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示)【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1-C_13C189.设AB是椭圆r的长轴，点C在T上，且∠CBA=胥，若AB=,BC=V5,则r的两个焦点之间的距离为【解答】不妨设椭圆「的标准方程为+二4+存=1，于是可算得C1,1,得e=4v6310.设非零常数d是等差数列x,,,x3,…,x9的公差，随机变量5等可能地取值,X2,为，…，X9，则方差D5=第1页1共8页【解答】E5=x1o,D5=199+8++P+02+1P++9)=V501d1.21.若oxc0s y+sinxsiny=2sin2x+sm2y=号,则sin(x+y)=32【解答】cos(x-月=2sin2x+sn2y=2sinx+)cos(r-月=3，故2sin(x+y)=12.设a为实常数，y=f)是定义在R上的奇函数，当x<0时，fm)=9x+4+7若f(x)≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为【解答】f0)=0,故0≥a+1→a≤-1：当x>0时，f=9x+a-72a+1即6|apa+8,又a≤-l,故a≤-8713.在xOy平面上，将两个半圆弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-32+y2=1(x≥3)、两条直线y=1和y=-1围成y的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为2，过(0，y)y长1)作2的水平截面，所得截面面积为4π√-y2+8π，试利用祖跑原理、一个平放0的圆柱和一个长方体，得出2的体积值为【解答】根据提示，一个半径为1，高为2π的圆柱平放，一个高为2，底面面积8π的长方体，这两个几何体与2放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即2的体积值为π12.2π+28π=2π2+16π.14.对区间I上有定义的函数g(x),记g(I)={y川y=g(x),x∈I),己知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f(x),且f([0,1)=[1,2),f-(2,4])=[0,1),若方程f(x)-x=0有解x,则x=【解答】根据反函数定义，当x∈[0,1)时，f(x)∈(2,4]：x∈[1,2)时，f(x)∈[0,1)，而y=f(x)的定义域为[0,3]，故当x∈[2,3]时，f(x)的取值应在集合(-0,0)U[1,2]小U(4,+∞)，故若f(x)=x,只有x=2二、选择题15.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0，B={x|x≥a-1},若AUB=R,则a的取值范围为()(A)(-0,2)B)(-0,2](C)(2,+0)(D)[2,+0)a21a≤1【解答】集合A讨论后利用数轴可知，或，解答选项为B.a-1≤1a-1≤a16.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()(A)充分条件(B)必要条件(C充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜一没好货，等价于，好货一不便宜，故选B.17.在数列{an}中，an=2”-1,若一个7行12列的矩阵的第i行第列的元素4=a,a,+4+a,(i=1,2,…,7,j=1,2,…,12)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()第2页1共8页(A)18B28(C48(D)63【解答】a=a,a,+g+a,=2-1,而i+j=2,3,…,19,故不同数值个数为18个，选A.18.在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a,a2,a3,a4,a5:以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1,d2,d,d4,d若m,M分别为(a,+a+a)(d,+d,+d,)的最小值、最大值，其中{i,j,k}s{L,2,3,4,5},{r,S,t三{L,2,3,4,5},则m,M满足()(A)m=0,M>0(B)m<0,M>0(C)m<0,M=0(D)m<0,M<0【解答】作图知，只有AF.DE=AB.DC>0,其余均有a·d,≤0，故选D.三、解答题19.(本题满分12分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC,平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面DAC的距离，【解答】因为ABCD-AB,CD为长方体，故AB∥CD,AB=C,D,故ABCD1为平行四边形，故BC,∥AD,显然B不在平面D1AC上，于是直线BC,平行于平面DAC:直线BC,到平面D,AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h考虑三棱锥ABCD,的体积，以ABC为底面，可得P=x(xIx2)x1=33而△4D,C中，AC=D,C=V5,AD=V5,故SA4ac=13,1所以，V×Xh=了→h、即直线BC到平面D,AC的距离为2-320.(6分+8分)甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是100(5x+1-弓元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围：(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润。【解答】()根据题意，200(5x+1-弓)≥3000→5x-14-3≥0又1≤x≤10，可解得3≤x≤102设利润为y元，则y=90106x+1-3=9x101-30之+受X故x=6时，yx=457500元.21.(6分+8分)己知函数f(x)=2sin(ox),其中常数0>0：（)若)=)在-号，骨上单调适常，求心的取值范调：第3页|共8页